Question

（2013•閔行區二模）給出下列四個命題：
①如果復數z滿足|z+i|+|z-i|=2，則復數z在復平面的對應點的軌跡是橢圓．
②若對任意的n∈N^*，（a_n+1-a_n-1）（a_n+1-2a_n）=0恒成立，則數列{a_n}是等差數列或等比數列．
③設f（x）是定義在R上的函數，且對任意的x∈R，|f（x）|=|f（-x）|恒成立，則f（x）是R上的奇函數或偶函數．
④已知曲線C：

x2 9

-

y2 16

=1和兩定點E（-5，0）、F（5，0），若P（x，y）是C上的動點，則||PE|-|PF||＜6．
上述命題中錯誤的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①依據|Z+i|+|Z-i|=2的幾何意義得到對應點的軌跡是線段；
②由于對任意的n∈N^*，（a_n+1-a_n-1）（a_n+1-2a_n）=0恒成立，
則由兩因式分別為0，可求出數列{a_n}的遞推公式，繼而可得到數列是等差數列或等比數列；
③由于對任意的x∈R，|f（x）|=|f（-x）|恒成立，則f（x）=f（-x）或f（x）=-f（-x），則可判斷函數的奇偶性；
④若設P（x，y）（x＞0，y≥0），則可將曲線C：

x2 9

-

y2 16

=1化簡為

x

3

-

y

4

=1（x＞0，y≥0）
再畫出圖形，找到特殊點，當y=0時，即可求出||PE|-|PF||的值，繼而判斷正誤．

解答：解：①|Z+i|表示復平面上，點Z與點-i的距離，|Z-i|表示復平面上，點Z與點i的距離，
∴|Z+i|+|Z-i|=2，表示復平面上，點Z與點i、-i的距離之和等于2．則對應點的軌跡是線段，故①錯；
②由于對任意的n∈N^*，（a_n+1-a_n-1）（a_n+1-2a_n）=0恒成立，
則（a_n+1-a_n-1）=0或（a_n+1-2a_n）=0，所以a_n+1-a_n=1或a_n+1=2a_n，則數列{a_n}是等差數列或等比數列，故②正確；
③由于對任意的x∈R，|f（x）|=|f（-x）|恒成立，則f（x）=f（-x）或f（x）=-f（-x），則f（x）是R上的偶函數或奇函數，故③正確；
④設P（x，y）（x＞0，y≥0）是C上的動點曲線C：

x2 9

-

y2 16

=1，則

x

3

-

y

4

=1（x＞0，y≥0）
又由于兩定點E（-5，0）、F（5，0），則P、E、F三點位置如圖示．

當y=0時，P點與Q點重合，即||PE|-|PF||=||QE|-|QF||=6，故④錯誤．
故答案為 B．

點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，屬于基礎題．我們需對四個結論逐一進行判斷，可以得到正確的結論．