Question

【題目】自選題：已知曲線C1： （θ為參數），曲線C2： （t為參數）．
（1）指出C1 ， C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數；
（2）若把C1 ， C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線C1′，C2′．寫出C1′，C2′的參數方程．C1′與C2′公共點的個數和C與C2公共點的個數是否相同？說明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： C1是圓，C2是直線．C1的普通方程為x2+y2=1，

圓心C1（0，0），半徑r=1．C2的普通方程為 ．

因為圓心C1到直線 的距離為1，

所以C2與C1只有一個公共點．

（2）解：壓縮后的參數方程分別為C1′： （θ為參數）；

C2′： （t為參數）．

化為普通方程為：C1′：x2+4y2=1，C2′： ，

聯立消元得 ，

其判別式 ，

所以壓縮后的直線C2′與橢圓C1′仍然只有一個公共點，和C1與C2公共點個數相同

【解析】（1）先利用公式sin2θ+cos2θ=1將參數θ消去，得到圓的直角坐標方程，利用消元法消去參數t得到直線的普通方程，再根據圓心到直線的距離與半徑進行比較，從而得到C1與C2公共點的個數；（2）求出壓縮后的參數方程，再將參數方程化為普通方程，聯立直線方程與圓的方程，利用判別式進行判定即可．
【考點精析】本題主要考查了直線的參數方程和圓的參數方程的相關知識點，需要掌握經過點，傾斜角為的直線的參數方程可表示為（為參數）；圓的參數方程可表示為才能正確解答此題．