Question

設三棱錐P-ABC的頂點P在平面ABC上的射影是H，給出以下命題：
①若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則H是△ABC的垂心
②若∠ABC=90°，H是斜邊AC上的中點，則PA=PB=PC
③若PA=PB=PC，則H是△ABC的外心
④若P到△ABC的三邊的距離相等，則H為△ABC的內心
其中正確命題的是（　　）

A．①③④

B．②③④

C．①②③

D．①②③④

Answer 1

分析：根據三角形垂心，外心，內心的定義及棱錐的幾何特征，結合勾股定理，逐一判斷題目中四個命題的真假，可得答案．

解答：解：∵三棱錐P-ABC的頂點P在平面ABC上的射影是H，
當PA，PB，PC兩兩互相垂直時，則PA⊥平面PBC，則PA⊥BC，
又由PH⊥底面ABC，則PH⊥BC，進而BC⊥平面PAH，即AH⊥BC，
同理可證BH⊥AC，CH⊥AB，故H是△ABC的垂心，即①正確；
若∠ABC=90°，H是斜邊AC上的中點，則HA=HB=HC，由勾股定理易得PA=PB=PC，故②正確；
若PA=PB=PC，由勾股定理易得HA=HB=HC，故③H是△ABC的外心正確；
如圖P是△ABC所在平面外一點，若P到△ABC三邊的距離相等，E，F，D分別是點P在三個邊上的垂足，故可證得HE，HF，HD分別垂直于三邊且相等，由內切圓的加心的定義知，此時點H是三角形的內心，故④正確
故選D

點評：本題考查的知識點是三角形的五心，其中根據已知條件及棱錐的幾何特征，得到H點的幾何特征是解答的關鍵．