Question

用射擊的方法引爆裝有汽油的大汽油罐，已知只有5發子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功（可以是兩次不連續的命中），每次射擊命中率都是

2

3

，每次命中與否互相獨立．
（1）求油罐被引爆的概率．
（2）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數為ξ，求ξ的分布列及ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（1）設“油罐被引爆”為事件A，先求其對立事件的概率P(

.

A

)，利用P(A)=1-P(

.

A

)即可得出；
（2）利用獨立事件和互斥事件的概率計算公式、隨機變量的數學期望即可得出．

解答：解：（1）設“油罐被引爆”為事件A，其對立事件為

.

A

，則P(

.

A

)=

C

1 5

(

2

3

)×(

1

3

)4+(

1

3

)5=

11

243

，
∴P(A)=1-P(

.

A

)=1-

11

243

=

232

243

．
即油罐被引爆的概率為

232

243

．
（2）射擊次數ξ的可能取值為2，3，4，5．
則P（ξ=2）=(

2

3

)2=

4

9

，P（ξ=3）=

C

1 2

×

2

3

×

1

3

×

2

3

=

8

27

，
P（ξ=4）=

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2×

2

3

=

4

27

，
P（ξ=5）=

C

1 4

×

2

3

×(

1

3

)3+(

1

3

)4=

1

9

或P（ξ=5）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=

1

9

．
故ξ的分布列為：
故Eξ=2×

4

9

+3×

8

27

+4×

4

27

+5×

1

9

=

79

27

．

點評：熟練掌握獨立事件的概率關系P(A)=1-P(

.

A

)、獨立事件和互斥事件的概率計算公式、隨機變量的數學期望是解題的關鍵．