Question

【題目】數列{an}中，已知a1= ，an+1= ．
（1）證明：an＜an+1＜ ；
（2）證明：當n≥2時，（ ） ＜2．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由 ，得 ，即0≤an≤1．

∴an+1= = ，

又a1= ≠0，且 ，∴0 ．

∴ ＞0．

即

（2）證明：當n=2時， ，

又∵ ，

∴ ．

即當n=2時， 成立，

當n=k時， 成立，即 成立，

當n=k+1時， = ．

∵an+1＞an，∴ak+1＞ak

∴ ．

則 = ，

∴當n=k+1時， 也成立，

∴當n≥2時， 成立

【解析】（1）由已知a1= ，an+1= ，即可得到 ，又0 ，進一步得到 ，則結論an＜an+1＜ 可證；（2）首先證當n=2時， 成立，即當n=k時， 成立，當n=k+1時，ak+1＞ak ， 則 = ，則結論當n≥2時，（ ） ＜2可證．
【考點精析】關于本題考查的數列的通項公式，需要了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．