Question

已知圓和直線
(1) 求證:不論取什么值,直線和圓總相交;
(2) 求取何值時,圓被直線截得的弦最短,并求最短弦的長.

Answer 1

(1)見解析 (2) 當時，圓被直線截得最短的弦長為4

（1）由直線l的方程可得從而可確定直線l恒過定點(4,3),
再證明定點（4，3）在圓內部即可.
（2）由弦長公式可知當定點P（4，3）為弦的中點時，圓心到直線l的距離最大，弦長最短，所以此時直線l與CP垂直.
解:(1)證明:由直線的方程可得,,則直線恒通過點
,把代入圓C的方程,得,所以點 在圓的內部,
又因為直線恒過點, 所以直線與圓C總相交.
(2)設圓心到直線的距離為,則

又設弦長為,則,即.
∴當時,
所以圓被直線截得最短的弦長為4.