Question

【題目】如圖，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于點F，若BF=FC=3，DF=FE=2．

（1）求證：ADAB=AEAC；
（2）求線段BC的長度．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由已知∠BDC=∠BEC=90°，

所以B，C，D，E四點在以BC為直徑的圓上，

由割線定理知：ADAB=AEAC

（2）

解：如圖，過點F作FG⊥BC于點G，

由已知，∠BDC=90°，又因為FG⊥BC，所以B，G，F，D四點共圓，

所以由割線定理知：CGCB=CFCD，①

同理，F，G，C，E四點共圓，由割線定理知：

BFBE=BGBC，②

①+②得：CGCB+BGBC=CFCD+BFBE，

即BC2=CFCD+BFBE=3×5+3×5=30，

所以BC= ．

【解析】（1）推導出B，C，D，E四點在以BC為直徑的圓上，由割線定理能證明ADAB=AEAC．（2）過點F作FG⊥BC于點G，推導出B，G，F，D四點共圓，F，G，C，E四點共圓，由此利用割線定理能求出BC的長．