Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，,

（1）求證：平面平面；

（2）設是上的動點，求與平面所成最大角的正切值；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）要證面面垂直，就要證線面垂直，也即要證線線垂直，考慮到是等腰直角三角形，因此取中點，則有，同時是等邊三角形，因此有，從而是二面角的平面角，由己知計算線段的長，由勾股定理知，這樣就不需要再證明線面垂直了，根據直二面角的定義得面面垂直，這也是證面面垂直的另一種方法；（2）對于這種運動問題，一種方法首先作出直線與平面所成的角，由（1）知為直線與平面所成的角，要使這個角最大，則最小，因此，然后計算可得；第二種方法，以為原點，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，，可求出點坐標，是平面的一個法向量，設與平面所成的角為，則，計算后它是的函數，函數值最大時最大；（3）在（2）建立空間直角坐標系的基礎上，求得平面與平面的法向量，由法向量夾角可得二面角．

試題解析：（1）證明：取中點，連結，由，，知為等腰直角三角形，

∴，，由，，知為等邊三角形，

∴，由得，∴

又，∴平面，又平面，∴平面平面

（2）解法1：如圖，連結，由（1）知，

∴平面，為與平面所成的角，

在中，∵,

要最大時，只需取最小值，

而的最小值即點到的距離，這時，，

故當最大時，，即與平面所成最大角的正切值為．

解法2：由（1）知平面，，

如圖所示，以為原點，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，

設點的坐標為，，

則，∴，即,

則，為平面的法向量，設與平面所成的角為，

則

當時，取最大值，，又，此時最大，，

即與平面所成最大角的正切值為.

（3）由（2）得，，設平面的法向量為，

則，取，則，即，

平面的一個法向量為，

設二面角大小為，易知其為銳角，

所以．

所以二面角的余弦值為.