正三棱柱
的所有棱長都為4,D為的
中點.
(1)求證:
⊥平面
；
(2)求二面角
余弦值.
(1)詳見解析；（2）
.
解析試題分析：(1)先根據題意找到BC中點O，證明
，
平面
，從而以O為原點構造出空間直角坐標系.在寫出平面中相關向量坐標以及
的坐標，由向量的數量積為0證明線線垂直，從而得到⊥平面；（2）先求出平面
的法向量，又由上問可知平面
的法向量即
，再通過向量的夾角公式得到這兩個法向量的夾角余弦值，經觀察可知即為二面角余弦值.從而得到本題的解.
試題解析：（1）取BC中點O,連AO,
∵
為正三角形, ∴,
∵在正三棱柱
中,平面ABC
平面,∴平面,
取
中點為
,以O為原點,
,
,
的方向為
,
軸的正方向,建立空間直角坐標系, 
則
.
∴
,
∵
,
.
∴
,
,∴
面
(2)設平面的法向量為
,
.
,∴
,∴
,
,令
,得
為平面的一個法向量,由(1)知面,
∴為平面的法向量,
,
經檢驗易知二面角
的余弦值為.
考點：1.向量數量積表示垂直；2.平面的法向量；3.二面角.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖(1)，四邊形ABCD中，E是BC的中點，DB＝2，DC＝1，BC＝
，AB＝AD＝
.將圖(1)沿直線BD折起，使得二面角ABDC為60°，如圖(2)．
(1)求證：AE⊥平面BDC；
(2)求直線AC與平面ABD所成角的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面為正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2，請建立空間直角坐標系解決下列問題．
（1）求證：
；（2）求直線
與平面
所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，平面
平面
，
是等腰直角三角形，
，四邊形
是直角梯形，
∥ＡＥ，
，
,
分別為
的中點．
（1）求異面直線
與
所成角的大小；
（2）求直線
和平面
所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在如圖所示的空間直角坐標系O－xyz中，原點O是BC的中點，A點坐標為
，D點在平面yoz上，BC=2，∠BDC=90°，∠DCB=30°.
（Ⅰ）求D點坐標；
（Ⅱ）求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題12分）如圖：四棱錐P—ABCD中，底面ABCD
是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=
，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動.
（1）證明：無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF;
（2）當BE等于何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°.
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中，
且
以
為折線，把
折起，使平面
平面
，連接
；
的余弦值.
中，底面
為平行四邊形，且
，
，
，
為
的中點.
∥平面
；
與平面
的底面
為一直角梯形，其中
，
底面
是
的中點．
表示
，并判斷直線
與平面
的位置關系；
平面
，求異面直線
與
所成角的余弦值．