Question

【題目】已知拋物線上一點到焦點的距離.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點引圓的兩條切線，切線與拋物線的另一交點分別為，線段中點的橫坐標記為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由題意確定p的值即可確定拋物線方程；

（2）很明顯切線斜率存在，由圓心到直線的距離等于半徑可得是方程的兩根，聯立直線方程與拋物線方程可得點的橫坐標 .結合韋達定理將原問題轉化為求解函數的值域的問題即可.

（1）由拋物線定義,得，由題意得：

解得

所以，拋物線的方程為.

（2）由題意知，過引圓的切線斜率存在，設切線的方程為，則圓心到切線的距離，整理得，.

設切線的方程為,同理可得.

所以，是方程的兩根，.

設，由得，，

由韋達定理知，，所以，同理可得.

設點的橫坐標為，則

.

設，則，

所以，，對稱軸，所以