Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．

（1）若方程有實數根，求實數m的取值范圍；

（2）若方程兩實數根分別為x1、x2，且滿足x12+x22＝31+|x1x2|，求實數m的值．

Answer 1

【答案】（1）m≥﹣；（2）m＝2．

【解析】

（1）利用判別式的意義得到（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，然后解不等式即可；

（2）根據題意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，由條件得x12+x22＝31+x1x2，再利用完全平方公式得（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，所以（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，然后解關于m的方程，最后利用m的范圍確定滿足條件的m的值．

（1）根據題意得（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，

解得m≥﹣；

（2）根據題意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，

因為x1x2＝m2+2＞0，

所以x12+x22＝31+x1x2，

即（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，

所以（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，

整理得m2+12m﹣28＝0，解得m1＝﹣14，m2＝2，

而m≥﹣；

所以m＝2．