Question

【題目】設(shè)分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為．

（1）求雙曲線的方程；

（2）已知直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)，使，求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）， ．

【解析】試題分析：（1）由于實(shí)軸長(zhǎng)為，可得，由雙曲線的焦點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離可得，從而得其方程；（2）設(shè)，根據(jù)向量關(guān)系可得，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程消去得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得，代入直線方程可得，從而得，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，滿足雙曲線方程，解方程組即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)和的值.

試題解析：（1）由實(shí)軸長(zhǎng)為，得，漸近線方程為，即， 焦點(diǎn)到漸近線的距離為， ，又， 雙曲線方程為： .

（2）設(shè)，則,

由，

，，解得.