Question

已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC為球O的直徑，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB為等邊三角形，三棱錐S-ABC的體積為

4 3

3

，求球O的表面積．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：根據題意作出圖形，欲求球的半徑r．利用截面的性質即可得到三棱錐S-ABC的體積可看成是兩個小三棱錐S-ABO和C-ABO的體積和，即可計算出三棱錐的體積，從而建立關于r的方程，求出r，從而求球O的表面積．

解答： 解：根據題意作出圖形：
設球心為O，球的半徑r．
∵SC⊥OA，SC⊥OB，∴SC⊥平面AOB，
三棱錐S-ABC的體積可看成是兩個小三棱錐S-ABO和C-ABO的體積和．
∴V_{三棱錐S-ABC}=V_{三棱錐S-ABO}+V_{三棱錐C-ABO}=

1

3

×

3

4

×r²×r×2=

4 3

3

，
∴r=2，
∴球O的表面積為4π×2²=16π．

點評：本題考查棱錐的體積，考查球內接多面體，解題的關鍵是確定將三棱錐S-ABC的體積看成是兩個小三棱錐S-ABO和C-ABO的體積和．