Question

已知f（x）為R上的奇函數，當x＞0時，f（x）為二次函數，且滿足f（2）=-1，不等式組的解集是{x|1＜x＜3}．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）作出f（x）的圖象并根據圖象討論關于x的方程：f（x）-c=0（c∈R）根的個數．

Answer 1

解：（1）由題意得當x＞0時，設f（x）=a（x-1）（x-3），∵f（2）=-1，∴a=1，∴f（x）=x²-4x+3．
當x＜0時，則有-x＞0，∵f（x）為R上的奇函數，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-4（-x）+3]=-x²-4x-3，即：f（x）=-x²-4x-3．
當x=0時，由f（-x）=-f（x）得：f（0）=0．
所以，．…（5分）
（2）作圖（如圖所示）：
…（8分）
由f（x）-c=0得：c=f（x），在上圖中作y=c，根據直線y=c和y=f（x）的圖象交點個數討論方程的根：
當c≥3或c≤-3，方程有1個根．
當1＜c＜3或-3＜c＜-1，方程有2個根．
當c=-1或c=1，方程有3個根．
當0＜c＜1或-1＜c＜0，方程有4個根．
當 c=0，方程有5個根．…（10分）
分析：（1）由題意得當x＞0時，設f（x）=a（x-1）（x-3），由f（2）=-1，求得a 的值，即得f（x）的解析式．x＜0時，則有-x＞0，利用奇函數的性質求出f（x）的解析式，再由f（0）=0，即可得到f（x）在R上的解析式．
（2）作出f（x）的圖象，方程f（x）-c=0得根的個數即直線y=c和y=f（x）的圖象交點個數，數形結合得出結論．
點評：本題主要考查方程的根的個數判斷方法、函數的奇偶性的應用以及二次函數的性質，體現了數形結合的數學思想，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．