Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，直線l過定點A（1，0）且與拋物線交于P，Q兩點．
（1）若以弦PQ為直徑的圓恒過原點O，求p的值；
（2）在（1）的條件下，若

FP

+

FQ

=

FR

，求動點R的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）先看斜率不存在時，把x=1代入拋物線方程求得y，弦PQ為直徑的圓恒過原點O，求得p；在看斜率存在時設出直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據(jù)韋達定理求得x₁x₂和x₁+x₂的表達式進而求得y₁y₂，以弦PQ為直徑的圓恒過原點O，求得p，綜合答案可得．
（2）設動點R的坐標為（x，y）根據(jù)

FP

+

FQ

=

FR

可知

FO

+

OP

+

FO

+

OQ

=

FO

+

OR

進而把各點的坐標代入整理得x=x1+x2-

1

4

且y=y1+y2，進而分別看直線斜率存在和不存在兩種情況下x和y的關系．

解答：解：（1）①若直線l為x=1，將x=1代入y²=2px得y²=2p，
以弦PQ為直徑的圓恒過原點O，有2p=1，∴p=

1

2

②若直線l不是x=1，設直線方程為：y=kx-k，
將y=kx-k代入y²=2px得k²x²-（2p+2k²）x+k²=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則由韋達定理得：x₁+x₂=

2p+2k2

k2

x₁x₂=1，
故y₁y₂=-2p
以弦PQ為直徑的圓恒過原點O，
∴x₁x₂+y₁y₂=0=1-2p，
∴p=

1

2

又此時△=4p²+8pk²＞0，
綜合①②得p=

1

2

（2）設動點R的坐標為（x，y）
∵

FP

+

FQ

=

FR

∴

FO

+

OP

+

FO

+

OQ

=

FO

+

OR

∴(-

1

4

，0)+(x1，y1)+(x2，y2)=(x，y)
∴x=x₁+x₂-

1

4

且y=y₁+y₂①直線l為x=1時，∴x=x₁+x₂-

1

4

=

7

4

，y=y1+y2=0②當直線l不是x=1時，x=

2p+2k2

k2

-

1

4

y=k(x1+x2)-2k=

2p

k

即得：x=2py²+

7

4

=y2+

7

4

，所以y2=x-

7

4

又因為點(

7

4

，0)在y²=x-

7

4

上，所以由①②得R點的軌跡方程為：y²=x-

7

4

點評：本題主要考查了拋物線的應用，直線與拋物線的關系．解題時要注意討論直線斜率不存在時的情況．