Question

如圖，某自來水公司要在公路兩側排水管，公路為東西方向，在路北側沿直線排水管，在路南側沿直線排水管（假設水管與公路的南，北側在一條直線上且水管的大小看作為一條直線），現要在矩形區域ABCD內沿直線EF將與接通．已知AB = 60m，BC = 60m，公路兩側排管費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分的排管費用為每米2萬元，設EF與AB所成角為．矩形區域內的排管費用為W．

（1）求W關于的函數關系式；
（2）求W的最小值及相應的角．

Answer 1

（1）；（2），.

解析試題分析：（1）過E作，垂足為，然后將用，再根據題意列出W關于的函數關系式，化簡即得；（2）設，，再對其求導，通過導函數確定在的單調性，從而得到該函數的最大值以及取得最大值時相應的角，代入中，即得到W的最小值.
試題解析：（1）如圖，過E作，垂足為，由題意得，
故有，， ，
所以W=.
即 .  6分

（2）設，
則．
令得，即，得．
列表

	+	0	-
	單調遞增	極大值	單調遞減

所以當時有，此時有．
答：排管的最小費用為萬元，相應的角．  13分
考點：1.三角函數；2.用導數研究函數的單調性；3.利用單調性求最值.