Question

已知函數在上是增函數，上是減函數．
（1）求函數的解析式；
（2）若時，恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）是否存在實數b，使得方程在區間上恰有兩個相異實數根，若存在，求出b的范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

⑴；⑵；⑶

解析試題分析：⑴求導數，求駐點，根據駐點函數值為0，得到的方程，進一步得到函數解析式.
⑵通過求導數、求駐點及駐點的唯一性，得到函數的最值，使
⑶構造函數，即，．
利用導數法，研究函數的單調區間，得增區間，減區間．
從而要使方程有兩個相異實根，須有，得解.
試題解析：⑴
依題意得，所以，從而  2分
⑵
令，得或（舍去），所以      6分
⑶設，
即，．                          7分
又，令，得；令，得．
所以函數的增區間，減區間．
要使方程有兩個相異實根，則有
，解得
考點：應用導數研究函數的單調性、極值，函數與方程.