Question

如圖，成都市準備在南湖的一側修建一條直路EF，另一側修建一條觀光大道，大道的前一部分為曲線段FBC，該曲線段是函數y=Asin(ωx+

2π

3

)，(A＞0，ω＞0)，x∈[-4，0]時的圖象，且圖象的最高點為B（-1，3），大道的中間部分為長1.5km的直線段CD，且CD∥EF．大道的后一部分是以O為圓心的一段圓弧DE．
（1）求曲線段FBC的解析式，并求∠DOE的大小；
（2）若南湖管理處要在圓弧大道所對應的扇形DOE區域內修建如圖所示的水上樂園PQMN，問點P落在圓弧DE上何處時，水上樂園的面積最大？

Answer 1

分析：（1）根據圖象，確定函數的最大值，周期，從而可得曲線段FBC的解析式，當x=0時，y=|OC|=

3 3

2

，從而可求∠DOE的大小；
（2）由（1）知OD=3，連接OP，設∠POE=θ，0＜θ＜

π

3

，進而可表示水上樂園PQMN面積，化簡函數，根據角的范圍，即可求得結論．

解答：解：（1）由圖象知A=3，

T

4

=3，∴T=12=

2π

ω

，∴ω=

π

6

，
∴曲線段FBC的解析式為y=3sin(

π

6

x+

2π

3

)，(-4≤x≤0)．…（3分）
當x=0時，y=|OC|=

3 3

2

，
又CD=

3

2

，∴∠COD=

π

6

，∴∠DOE=

π

3

．…（5分）
（2）由（1）知OD=3，連接OP，設∠POE=θ，0＜θ＜

π

3

，
△PON中，OP=3，PN=3sinθ，ON=3cosθ，…（6分）
△QOM中，QM=PN=3sinθ，OM=

3

sinθ，從而MN=3cosθ-

3

sinθ，…（8分）
則水上樂園PQMN面積S=3sinθ(3cosθ-

3

sinθ)=9sinθcosθ-3

3

sin2θ=

9

2

sin2θ-3

3

×

1-cos2θ

2

=

9

2

sin2θ+

3 3

2

cos2θ-

3 3

2

=3

3

sin(2θ+

π

6

)-

3 3

2

，
∵0＜θ＜

π

3

，∴當2θ+

π

6

=

π

2

，θ=

π

6

時，Smax=

3 3

2

．…（11分）
答：（1）曲線段FBC的解析式為y=3sin(

π

6

x+

2π

3

)，(-4≤x≤0)，∠DOE=

π

3

；
（2）當P點在圓弧DE中點時，水上樂園的面積最大，最大值為

3 3

2

km2．…（12分）

點評：本題考查三角函數解析式的求解，考查四邊形面積的計算，考查三角函數的化簡，確定函數解析式是關鍵．