Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BA＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得點P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，如圖2所示．點E、F分別為棱PC，CD的中點．
 
(1)求證：平面OEF∥平面APD；
(2)求證：CD⊥平面POF；
(3)在棱PC上是否存在一點M，使得M到P，O，C，F四點距離相等？請說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）存在

(1)證明：因為點P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，所以PO⊥平面ADC，所以PO⊥AC.
因為AB＝BC，所以O是AC的中點，
所以OE∥PA.
同理OF∥AD.
又OE∩OF＝O，PA∩AD＝A，
所以平面OEF∥平面PDA.
(2)證明：因為OF∥AD，AD⊥CD，
所以OF⊥CD.
又PO⊥平面ADC，CD?平面ADC，
所以PO⊥CD.
又OF∩PO＝O，所以CD⊥平面POF.
(3)存在，事實上記點E為M即可．
因為CD⊥平面POF，PF?平面POF，
所以CD⊥PF.
又E為PC的中點，所以EF＝PC，
同理，在直角三角形POC中，EP＝EC＝OE＝PC，
所以點E到四個點P，O，C，F的距離相等．