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如圖，在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面△ABC是等邊三角形，D為AB中點．
 
(1)求證：BC1∥平面A1CD；
(2)若四邊形BCC1B1是矩形，且CD⊥DA1，求證：三棱柱ABC­A1B1C1是正三棱柱．
（1）見解析（2）見解析
(1)連接AC1，設AC1與A1C相交于點O，連接DO，則O為AC1中點，

∵D為AB的中點，∴DO∥BC1
∵BC1?平面A1CD，DO?平面A1CD
∴BC1∥平面A1CD；
(2)∵等邊△ABC，D為AB的中點，∴CD⊥AB
∵CD⊥DA1，DA1∩AB＝D，∴CD⊥平面ABB1A1
∵BB1?平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，
∵四邊形BCC1B1是矩形，∴BB1⊥BC
∵BC∩CD＝C，∴BB1⊥平面ABC
∵底面△ABC是等邊三角形
∴三棱柱ABC­A1B1C1是正三棱柱．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BA＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得點P在平面ADC上的正投影O恰好落在線段AC上，如圖2所示．點E、F分別為棱PC，CD的中點．
 
(1)求證：平面OEF∥平面APD；
(2)求證：CD⊥平面POF；
(3)在棱PC上是否存在一點M，使得M到P，O，C，F四點距離相等？請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在三棱柱ABC ­A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，AA1＝AC＝BC＝1，A1B＝.

(1)求證：平面A1BC⊥平面ACC1A1；
(2)如果D為AB的中點，求證：BC1∥平面A1CD.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

和兩異面直線AB，CD都相交的直線AC，BD的位置關系是________．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知直線m,n和平面α,則m∥n的一個必要不充分條件是(　　)
A．m∥α,n∥αB．m⊥α,n⊥α
C．m∥α,n?αD．m,n與α成等角

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH上或其內部運動，且使MN⊥AC.

對于下列命題：①點M可以與點H重合；②點M可以與點F重合；③點M可以在線段FH上；④點M可以與點E重合．其中真命題的序號是________(把真命題的序號都填上)．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

設a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，則下列4組條件中所有能推得a⊥b的條件是________(填序號)．
①a?α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α⊥β；
③a?α，b⊥β，α∥β；④a⊥α，b∥β，α∥β.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設a，b是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列命題：
①若a⊥b，a∥α，則b∥α；②若a∥α，α⊥β，則a⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，則a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β.
其中正確命題的個數是 (　　)．
A．0B．1C．2D．3

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，二面角的大小是60°，線段在平面EFGH上，在EF上，與EF所成的角為30°，則與平面所成的角的正弦值是__________.

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同步練習冊答案
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