Question

【題目】若函數f（x）= sin2x+2cos2x+m在區間[0， ]上的最大值為6，求常數m的值及此函數當x∈R時的最小值，并求相應的x的取值集合．

Answer 1

【答案】解：f（x）= sin2x+2cos2x+m
= sin2x+1+cos2x+m
=2sin（2x+ ）+m+1，
∵x ，∴2x+ ∈[ ， ]，
sin（2x+ ）≤1，
所以函數f（x）的最大值為3+m，
∴3+m=6，m=3，
∴f（x）=2sin（2x+ ）+4，
當x∈R時，函數f（x）的最小值為2，
此時2x+ =﹣ ，
即x=﹣ +kπ（k∈Z）時取最小值．
【解析】先利用兩角和的正弦公式化成標準形式，根據x的范圍求函數的最大值，然后讓最大值等于6，求出m的值；當x∈R時，根據正弦函數求函數的最小值及取到最小值時的x的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二倍角的余弦公式的相關知識，掌握二倍角的余弦公式：，以及對三角函數的最值的理解，了解函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．