Question

【題目】某溫泉度假村擬以泉眼為圓心建造一個半徑為米的圓形溫泉池，如圖所示，、是圓上關于直徑對稱的兩點，以為圓心，為半徑的圓與圓的弦、分別交于點、，其中四邊形為溫泉區，I、II區域為池外休息區，III、IV區域為池內休息區，設．

（1）當時，求池內休息區的總面積（III和IV兩個部分面積的和）；

（2）當池內休息區的總面積最大時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）計算出、的長，利用三角形的面積公式可求得III和IV兩個部分面積的和；

（2）將、用含的代數式表示出來，可得出池內休息區的總面積關于的函數表達式，令，利用導數求出的最大值，并求出對應的的值，由此可求得的長.

（1）在中，因為，，所以，，

所以池內休息區總面積；

（2）在中，因為，，

所以，，

，由，得，

則池內休息區總面積，；

設，，

因為，

又，所以，使得，

則當時，在上單調增，

當時，在上單調遞減，

即是極大值，也是最大值，所以，此時．