Question

某商場在元旦期間開展某商品的促銷活動，該商品每件進價為80元，銷售價為120元，當一次購買超100件時，每多購一件，所購的全部商品的單價就降低0.1元，但最低購買不能低于100元．
（1）當一次購買量至少為多少件時，每件商品的實際購買價為100元？
（2）當一次訂購量為x件時，每件商品的實際購買價為y元，寫出函數y=f（x）的表達式；
（3）在顧客一次購買量不超過300件的情況下，求使商場獲得最大利潤的購買量及最大利潤．

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用,函數解析式的求解及常用方法,函數的值

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（1）設一次訂購量為100+n（n∈N），求出批發價，建立等量關系可求出n的值；
（2）直接根據題目條件可知該批發價的函數是一分段函數，用分段函數表示出y=f（x）即可；
（3）當經銷商一次批發個零件x時，該批發公司可獲得利潤為y，根據利潤=（批發價-進價）×個數求出利潤函數，然后根據分段函數的最值的求法求出所求．

解答： 解：（1）設一次訂購量為100+n（n∈N），
則批發價為120-0.1n，令120-0.1n=100，∴n=200，
所以當一次訂購量為300個時，每件商品的實際批發價為100元．…（5分）
（2）由題意知y=f（x）=

120，0≤x≤100，x∈N 120-0.1(x-100)，100＜x≤300，x∈N

…（10分）
（3）當經銷商一次批發x個零件時，該批發公司可獲得利潤為y，根據題意知：
y=

40x，0≤x≤100 [40-0.1(x-100)]x，100＜x≤300

…（12分）
設f₁（x）=40x，在x=100時，取得最大值為4000；
設f₂（x）=-0.1x²+50x=-0.1（x-250）²+0.1×250²
所以當x=250時，f₂（x）取最大值6250．…（15分）
答：當經銷商一次批發250個零件時，該批發公司可獲得最大利潤．…（16分）

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及二次函數的性質，同時考查計算能力和建模能力，屬于中檔題．