Question

已知函數f（x）=

- 1 2 x+ 1 4 ，x∈[0， 1 2 ] 2x2 x+2 ，x∈( 1 2 ，1]

，g（x）=asin（

π

3

x+

3π

2

）-2a+2（a＞0），給出下列結論，其中所有正確的結論的序號是（　�。�
①直線x=3是函數g（x）的一條對稱軸；         
②函數f（x）的值域為[0，

2

3

]；
③若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂），則實數a的取值范圍是[

4

9

，

4

5

]；
④對任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]內恒有解．

• A、①②
• B、①②③
• C、①③④
• D、①②④

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：計算題,函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：運用三角函數的對稱軸的定義，即可判斷①；
分別運用一次函數和分式函數的單調性，即可判斷得到值域，再求并集即可判斷②；
由f（x）的值域和g（x）的值域的關系，解不等式即可判斷③；
由f（x）的值域和g（x）的值域的包含關系，令a=10，即可判斷④．

解答： 解：對于①，g（x）=asin（

π

3

x+

3π

2

）-2a+2=-acos

π

3

x-2a+2，
由g（3）=-acosπ-2a+2=2-a，取得最大值，故①對；
對于②，當0≤x≤

1

2

時，f（x）=

1

4

-

1

2

x∈[0，

1

4

]；
當

1

2

＜x≤1時，f（x）=

2x2

x+2

═2[（x+2）+

4

x+2

]-8
而

5

2

＜x+2≤3，令z=x+2，則z∈（

5

2

，3]，
雙鉤型函數h（z）=2（z+

4

z

）-8在z∈（

5

2

，3]上單調遞增，
∴h（

5

2

）=

41

5

-8=

1

5

，h（z）_max=h（3）=

2

3

，
∴當x∈（

1

2

，1）時，f（x）的值域為（

1

5

，

2

3

]；
∴函數f（x）的值域為[0，

2

3

]，故②對；
對于③，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
則0≤2-3a≤

2

3

或0≤2-

5

2

a≤

2

3

，
解得

4

9

≤a≤

2

3

或

8

15

≤a≤

4

5

，由于

8

15

＜

2

3

，
∴[

4

9

，

2

3

]∪[

8

15

，

4

5

]=[

4

9

，

4

5

]．故③對；
對于④，g（x）=asin（

π

3

x+

3π

2

）-2a+2=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0），
∵0≤x≤1，∴0≤

π

3

x≤

π

3

，
∵y=cosx在[0，

π

3

]上單調遞減，
∴y=-cosx在[0，

π

3

]上單調遞增，又a＞0，
∴g（x）=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0）在[0，1]上是增函數，
由g（x）=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0）知，
當0≤x≤1時，0≤

π

3

x≤

π

3

，

1

2

≤cos

π

3

x≤1，又a＞0，
∴-a≤-acos

π

3

x≤-

a

2

，
∴2-3a≤-acos

π

3

x-2a+2≤2-

5

2

a．
不妨令a=10，g（x）∈（-28，-23），而f（x）的值域為[0，

2

3

]，
顯然f（x）≠g（x），故④錯．
故選B．

點評：本題考查復合三角函數的單調性，考查函數的值域，考查三角函數的誘導公式及綜合應用，屬于難題．