Question

已知m，n為正整數(shù)，
（1）證明：當(dāng)x＞-1時(shí)，（1+x）^m≥1+mx；
（2）對(duì)于n≥6，已知，求證，m=1，2，3，…，n；
（3）求出滿足等式3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整數(shù)n。

Answer 1

解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（i）當(dāng)時(shí)，原不等式成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110819/20110819100703765923.gif">
所以左邊右邊，原不等式成立；
（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)
∵
∴
于是在不等式兩邊同乘以1+x得
所以
即當(dāng)時(shí)，不等式也成立
綜合（i）（ii）知，對(duì)一切正整數(shù)m，不等式都成立；
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得：（令易得）
于是，m=1，2，3，…，n；
（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)

∴
即
即當(dāng)時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)n
故只需要討論n=1，2，3，4，5的情形
當(dāng)時(shí)，，等式不成立
當(dāng)n=2時(shí)，，等式成立；
當(dāng)n=3時(shí)，，等式成立；
當(dāng)n=4時(shí)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，故，等式不成立；
當(dāng)n=5時(shí)，同的情形可分析出，等式不成立
綜上，所求的n只有2，3。