Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的一個焦點與拋物線 的焦點相同，F1 ， F2為橢圓的左、右焦點．M為橢圓上任意一點，△MF1F2面積的最大值為4 ．

（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C上的任意一點N（x0 ， y0），從原點O向圓N：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3作兩條切線，分別交橢圓于A，B兩點．試探究|OA|2+|OB|2是否為定值，若是，求出其值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線 的焦點為（2 ，0），

由題意可得c=2 ，

△MF1F2面積的最大值為4 ，可得當M位于橢圓短軸端點處取得最大值．

即有 b2c=4 ，解得b=2，a2=b2+c2=4+8=12，

則橢圓方程為

（2）

證明：設直線OA：y=k1x，OB：y=k2x，A（x1，y1），B（x2，y2），

設過原點圓（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3的切線方程為y=kx，

則有 = ，整理得（x02﹣3）k2﹣2x0y0k+y02﹣3=0，

即有k1+k2= ，k1k2= ，

又因為 ，所以可求得k1k2= =﹣ ，

將y=k1x代入橢圓方程x2+3y2=12，

得x12= ，則y12= ，

同理可得x22= ，y22= ，

所以|OA|2+|OB|2= +

=

= =16．

所以|OA|2+|OB|2的值為定值16

【解析】（1）求得拋物線的焦點，可得c，再由當M位于橢圓短軸端點處△MF1F2面積取得最大值．可得b，由a，b，c的關系求得a，進而得到橢圓方程；（2）設直線OA：y=k1x，OB：y=k2x，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），設過原點圓（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=3的切線方程為y=kx，運用直線和圓相切的條件：d=r，聯立直線OA、OB方程和橢圓方程，求得A，B的坐標，運用韋達定理，化簡整理，即可得到定值．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．