Question

在等差數列{a_n}和等比數列{b_n}中，a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差數列，a₂，b₂，a₃+2成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=abn，數列{c_n}的前n和為S_n，若

S2n+4n

Sn+2n

＞an+t對所有正整數n恒成立，求常數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q（q＞0）．由題意，得

2(1+d)=2+2q (2q)2=(1+d)(3+2d)

，由此能求出數列{a_n}、{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由cn=3•bn-2=2•3n-2．知S_n=c₁+c₂+…+c_n=2（3¹+3²+…+3ⁿ）-2n=3ⁿ⁺¹-2n-3．由此能求出常數t的取值范圍．

解答：（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q（q＞0）．
由題意，得

2(1+d)=2+2q (2q)2=(1+d)(3+2d)

，解得d=q=3．    …（3分）
∴a_n=3n-2，bn=2•3n-1．              …（7分）
（Ⅱ）cn=3•bn-2=2•3n-2．      …（9分）
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=2（3¹+3²+…+3ⁿ）-2n=3ⁿ⁺¹-2n-3．…（11分）
∴

S2n+4n

Sn+2n

=

32n+1-3

3n+1-3

=3n+1．                 …（12分）
∴3ⁿ+1＞3n-2+t恒成立，即t＜（3ⁿ-3n+3）_min．
令f（n）=3ⁿ-3n+3，則f（n+1）-f（n）=2•3ⁿ-3＞0，
所以f（n）單調遞增．
故t＜f（1）=3，
即常數t的取值范圍是（-∞，3）． …（14分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查常數t的范圍的求法，綜合性強，難度大．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．