Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2 ． （Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2 ， 可得f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），
①當a≥0時，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，
即有f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增；
②當a＜0時，若a=﹣ ，則f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上遞增；
若a＜﹣ 時，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；
由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．
即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）遞增；
在（1，ln（﹣2a））遞減；
若﹣ ＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；
由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．
即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）遞增；
在（ln（﹣2a），1）遞減；
（Ⅱ）
①由（Ⅰ）可得當a＞0時，f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增，
且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；x→﹣∞，f（x）→+∞．f（x）有兩個零點；
②當a=0時，f（x）=（x﹣2）ex ， 所以f（x）只有一個零點x=2；
③當a＜0時，
若a＜﹣ 時，f（x）在（1，ln（﹣2a））遞減，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）遞增，
又當x≤1時，f（x）＜0，所以f（x）不存在兩個零點；
當a≥﹣ 時，f（x）在（1，+∞）單調遞增，又x≤1時，f（x）＜0，所以f（x）不存在兩個零點．
綜上可得，f（x）有兩個零點時，a的取值范圍為（0，+∞）
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的導數，討論當a≥0時，a＜﹣ 時，a=﹣ 時，﹣ ＜a＜0，由導數大于0，可得增區間；由導數小于0，可得減區間；（Ⅱ）由（Ⅰ）的單調區間，對a討論，結合單調性和函數值的變化特點，即可得到所求范圍．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．