Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）求證PA∥平面EDB；
（2）求二面角C﹣PB﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結AC，BD，交于點O，連結OE，

∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中點，

∵點E是PC的中點，∴OE∥PA，

∵OE平面EBD，PA平面EBD，

∴PA∥平面EDB

（2）解：以D為原點，DA，DC，DP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

設PD=DC=1，則D（0，0，0），P（0，0，1），

B（1，1，0），C（0，1，0），

=（0，0，1）， =（1，1，0）， =（0，1，﹣1），

=（1，1，﹣1），

設平面PBC的法向量 =（x，y，z），平面PBD的法向量 =（a，b，c），

則 ，取y=1，得 =（0，1，1），

，取a=1，得 =（1，﹣1，0），

設二面角C﹣PB﹣D的大小為θ，

則cosθ= = = ，

∴θ=60°，

∴二面角C﹣PB﹣D的大小為60°．

【解析】（1）連結AC，BD，交于點O，連結OE，則OE∥PA，由此能證明PA∥平面EDB．（2）以D為原點，DA，DC，DP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的大小．