Question

【題目】已知橢圓E： （a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F1與拋物線(xiàn)y2=﹣4x的焦點(diǎn)重合，橢圓E的離心率為 ，過(guò)點(diǎn)M （m，0）（m＞ ）作斜率不為0的直線(xiàn)l，交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（ ，0），且 為定值．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求△OAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)F1（﹣c，0），
∵拋物線(xiàn)y2=﹣4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），且橢圓E的左焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)y2=﹣4x的焦點(diǎn)重合，∴c=1，
又橢圓E的離心率為 ，得a= ，于是有b2=a2﹣c2=1．
故橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ．
（Ⅱ）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直線(xiàn)l的方程為：x=ty+m，
由 整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0
，
， =
=（t2+1）y1y2+（tm﹣ t）（y1+y2）+m2﹣ = ．
要使 為定值，則 ，解得m=1或m= （舍）
當(dāng)m=1時(shí)，|AB|= |y1﹣y2|= ，
點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離d= ，
△OAB面積s= = ．
∴當(dāng)t=0，△OAB面積的最大值為
【解析】（Ⅰ）由拋物線(xiàn)方程求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即橢圓左焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓離心率可得長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，再由b2=a2﹣c2求出短半軸，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（Ⅱ）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直線(xiàn)l的方程為：x=ty+m，由 整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由 為定值，解得m，|AB|= |y1﹣y2|= ，點(diǎn)O到直線(xiàn)AB的距離d= ，△OAB面積s= 即可求得最值
【考點(diǎn)精析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．