Question

【題目】已知數列{an}滿足a1＝3，a2，且2an+1＝3an﹣an-1.

（1）求證：數列{an+1﹣an}是等比數列，并求數列{an}通項公式；

（2）求數列{nan}的前n項和為Tn，若對任意的正整數n恒成立，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；；（2）.

【解析】

（1）由2an+1＝3an﹣an-1得，又a2﹣a1，則數列{an+1﹣an}是等比數列，進而求出其通項公式；

（2）根據（1）中求得的結果，先求出nan，再利用錯位相減法求前n項和Tn，然后求出k的取值范圍.

（1）證明：∵2an+1＝3an﹣an-1，∴，

又a2﹣a1，∴數列{an+1﹣an}是首項為，公比為的等比數列.

∴，

即a2﹣a1，a3﹣a2，…，an﹣an-1（）.

等式兩邊同時相加得an-a1（），

則，

又n＝1也適合上式，

∴.

（2）∵①，

∴②，

由①﹣②得

∴，

又，即，

∴，

令 ，

由，

∴當時，；當時，.

∴，

.