Question

【題目】若函數(shù)對(duì)任意的均有則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì)

（Ⅰ）判斷下面兩個(gè)函數(shù)是否具有性質(zhì)并說(shuō)明理由.

①②

（Ⅱ）若函數(shù)具有性質(zhì),且

求證:對(duì)任意有

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,是否對(duì)任意均有若成立,給出證明;若不成立,給出反例.

Answer 1

【答案】（1）具有,不具有（2）見(jiàn)解析（3）不成立

【解析】試題分析：（1）肯定結(jié)論需證明：根據(jù)定義比較大小，作差，提取因子，再利用基本不等式可得結(jié)論；對(duì)于否定結(jié)論，只需舉一個(gè)反例即可，（2）利用反證法證明，由于條件滿足差值單調(diào)遞增，利用累加可得矛盾，（3）構(gòu)造一個(gè)反例說(shuō)明不成立，一般舉分段函數(shù)，分有理數(shù)與無(wú)理數(shù)進(jìn)行列式.

試題解析：解:（Ⅰ）①函數(shù)具有性質(zhì)

因?yàn)?/span>即

此函數(shù)為具有性質(zhì)

②函數(shù)不具有性質(zhì)

例如,當(dāng)時(shí),

所以此函數(shù)不具有性質(zhì)

（Ⅱ）假設(shè)為中第一個(gè)大于的值,則

因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì)所以對(duì)于任意的均有

所以

所以

與矛盾,

所以,對(duì)任意的有

（Ⅲ）不成立.

例如.

證明:當(dāng)為有理數(shù)時(shí), 均為有理數(shù),

當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí), 均為無(wú)理數(shù),

所以,函數(shù)對(duì)任意的,均有

即函數(shù)具有性質(zhì)

而當(dāng)且當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí),

所以,在（Ⅱ）的條件下,“對(duì)任意的均有”不成立.