Question

一個簡單多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，它的主視圖和側視圖都是腰長為1的等腰直角三角形，俯視圖為正方形，E是PD的中點．
（Ⅰ）求證：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）求證：PC⊥BD；
（Ⅲ）求三棱錐C-PAB的體積．

Answer 1

證明：（I）連接BD，BD∩AC=O，連接OE，
易知OE是△BPD的中位線，
∴BP∥OE，
OE?平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
（II）∵俯視圖為正方形，
即ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
PA∩AC=A，BD⊥平面PAC．
PC?平面PAC．
∴PC⊥BD
（III）由已知正方形ABCD的邊長為1，
PA=1，
V_C-PAB=V_P-ABC=

1

3

•

1

2

•1•1•1=

1

6

．