Question

【題目】已知橢圓C： 的離心率為 ，橢圓C與y軸交于A、B兩點，|AB|=2．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知點P是橢圓C上的動點，且直線PA，PB與直線x=4分別交于M、N兩點，是否存在點P，使得以MN為直徑的圓經過點（2，0）？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）P不存在

【解析】

試題分析：（Ⅰ）運用橢圓的離心率公式，以及a，b，c的關系，計算即可得到所求橢圓方程；（Ⅱ）設P（m，n），可得，可得A（0，1），B（0，-1），設M（4，s），N（4，t），運用三點共線的條件：斜率相等，求得M，N的坐標，再由直徑所對的圓周角為直角，運用垂直的條件：斜率之積為-1，計算即可求得m，檢驗即可判斷是否存在

試題解析：（Ⅰ）由題意可得e==，2b=2，即b=1，

又a2﹣c2=1，解得a=2，c=，

即有橢圓的方程為+y2=1；

（Ⅱ）設P（m，n），可得+n2=1，

即有n2=1﹣，

由題意可得A（0，1），B（0，﹣1），設M（4，s），N（4，t），

由P，A，M共線可得，kPA=kMA，即為=，

可得s=1+，

由P，B，N共線可得，kPB=kNB，即為=，

可得s=﹣1．

假設存在點P，使得以MN為直徑的圓經過點Q（2，0）．

可得QM⊥QN，即有=﹣1，即st=﹣4．

即有[1+][﹣1]=﹣4，

化為﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，

解得m=0或8，

由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．