Question

已知函數f(x)=loga

2m-1-mx

x+1

(a＞0，a≠1)是奇函數，定義域為區間D（使表達式有意義的實數x 的集合）．
（1）求實數m的值，并寫出區間D；
（2）若底數a＞1，試判斷函數y=f（x）在定義域D內的單調性，并說明理由；
（3）當x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底數）時，函數值組成的集合為[1，+∞），求實數a、b的值．

Answer 1

分析：（1）由奇函數的性質，可得f（x）+f（-x）=0，代入函數的解析式，轉化為方程f（x）+f（-x）=0在區間D上恒成立，進而求解；
（2）令t=

1-x

1+x

，先求出該函數在定義域D內的單調性，然后利用復合函數的單調性，求出f（x）的單調性．
（3）首先由A⊆D，求出a、b的范圍，進而結合（2）中的結論，確定函數f（x）的單調性，然后利用函數的單調性確定函數的最值，結合已知，解方程求出a，排除b＜1的情況，最終確定b的值．

解答：解（1）∵y=f（x）是奇函數，
∴對任意x∈D，有f（x）+f（-x）=0，即loga

2m-1-mx

1+x

+loga

2m-1+mx

1-x

=0．（2分）
化簡此式，得（m²-1）x²-（2m-1）²+1=0．又此方程有無窮多解（D是區間），
必有

m2-1=0 (2m-1)2-1=0

，解得m=1．（4分）
∴f(x)=loga

1-x

1+x

，D=(-1，1)．（5分）
（2）當a＞1時，函數f(x)=loga

1-x

1+x

在D=(-1，1)上是單調減函數．
理由：令t=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

．
易知1+x在D=（-1，1）上是隨x增大而增大，

2

1+x

在D=（-1，1）上是隨x增大而減小，（6分）
故t=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

在D=（-1，1）上是隨x增大而減小．（8分）
于是，當a＞1時，函數f(x)=loga

1-x

1+x

在D=(-1，1)上是單調減函數．（10分）
（3）∵A=[a，b）⊆D，
∴0＜a＜1，a＜b≤1．（11分）
∴依據（2）的道理，當0＜a＜1時，函數f(x)=loga

1-x

1+x

在A上是增函數，（12分）
即f(a)=1，loga

1-a

1+a

=1，解得a=

2

-1(舍去a=-

2

-1)．（14分）
若b＜1，則f（x）在A上的函數值組成的集合為[1，loga

1-b

1+b

)，不滿足函數值組成的集合是[1，+∞）的要求．（也可利用函數的變化趨勢分析，得出b=1）
∴必有b=1．（16分）
因此，所求實數a、b的值是a=

2

-1、b=1．

點評：本題主要考查對數函數的單調性和奇偶性、求函數值域、恒成立等知識，以及運算求解能力．在解答過程當中，分析問題的能力、運算的能力、問題轉換的能力以及分類討論的能力都得到了充分的體現，值得同學們體會反思．