Question

已知函數f(x)=

lnax

x

(a＞0，a∈R)，e為自然對數的底，
（1）求f（x）的最值；
（2）若關于x方程ln2x=x³-ex²+mx有兩個不同解，求m的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數研究函數的單調性，根據單調性求函數的極值，從而求得函數的最值．
（2）由（1）可得f（x）在x=

e

2

處取得最大值，條件等價于

ln2x

x

=x2-ex+m=(x-

e

2

)2+m-

e2

4

 有2個不同的解，結合圖象可知m-

e2

4

＜

2

e

，由此求得m的范圍．

解答：解：（1）a＞0，定義域為（0，+∞），f′(x)=

1-lnax

x2

，
令f′（x）=0，解得x=

e

a

，當x∈(0，

e

a

)時，f′（x）＞0．
當x∈(

e

a

，+∞)時，f′（x）＜0，所以fmax(x)=f(

e

a

)=

a

e

．
（2）由（1）可知f(x)=

ln2x

x

在x=

e

2

時，取得最大值

2

e

，ln2x=x3-ex2+mx?

ln2x

x

=x2-ex+m=(x-

e

2

)2+m-

e2

4

，要讓方程有兩個不同解，
結合圖象可知：m-

e2

4

＜

2

e

，解得m＜

2

e

+

e2

4

．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質綜合應用，利用導數求函數的極值，屬于中檔題．