Question

給出下列結論：
動點M（x，y）分別到兩定點（-3，0）、（3，0）連線的斜率之乘積為

16

9

，設M（x，y）的軌跡為曲線C，F₁、F₂分別為曲線C的左、右焦點，則下列命題中：
（1）曲線C的焦點坐標為F₁（-5，0）、F₂（5，0）；
（2）若∠F₁MF₂=90°，則S △F1MF2=32；
（3）當x＜0時，△F₁MF₂的內切圓圓心在直線x=-3上；
（4）設A（6，1），則|MA|+|MF₂|的最小值為2

2

；
其中正確命題的序號是：

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,簡易邏輯

分析：由題意可得：

y

x+3

×

y

x-3

=

16

9

，化為

x2

9

-

y2

16

=1（x≠±3）．
（1）由曲線C的標準方程可得c=

9+16

=5，即可得出曲線C的焦點坐標；
（2）設|F₁M|=m，|F₁M|=n，m＞n，由于∠F₁MF₂=90°，可得

m2+n2=102 m-n=2×3

，

1

2

mn=16；
（3）設A為內切圓與x軸的切點，由于|F₂M|-|F₁M|=|F₂A|-|F₁A|=2a=6，|F₂A|+|F₁A|=2c=10，可得|F₂A|=8，|F₁A|=2，解得x_A，即可判斷出；
（4）不妨設點M在雙曲線的右支上，根據定義可得|MF₁|-|MF₂|=2a=6，可得|MA|+|MF₂|=|MA|+|MF₁|-6，當A、M、F₁三點共線時，|MA|+|MF₂|的最小值為|AF₁|-6．

解答： 解：由題意可得：

y

x+3

×

y

x-3

=

16

9

，化為

x2

9

-

y2

16

=1（x≠±3）．
（1）由曲線C的標準方程可得c=

9+16

=5，∴曲線C的焦點坐標為F₁（-5，0）、F₂（5，0），正確；
（2）設|F₁M|=m，|F₁M|=n，m＞n，∵∠F₁MF₂=90°，∴

m2+n2=102 m-n=2×3

，∴S △F1MF2=

1

2

mn=16；
（3）設A為內切圓與x軸的切點，∵|F₂M|-|F₁M|=|F₂A|-|F₁A|=2a=6，|F₂A|+|F₁A|=2c=10，∴|F₂A|=8，|F₁A|=2，∴5-x_A=8，解得x_A=-3．設圓心P，則PO⊥x軸，從而可得圓心在直線x=-3上，因此正確；
（4）不妨設點M在雙曲線的右支上，∵|MF₁|-|MF₂|=2a=6，∴|MA|+|MF₂|=|MA|+|MF₁|-6，當A、M、F₁三點共線時，|MA|+|MF₂|的最小值為|AF₁|-6=

122

-6．因此不正確．
綜上可得：正確命題的序號是（1）（3）．
故答案為：（1）（3）．

點評：本題考查了雙曲線的定義標準方程及其性質、三角形的內切圓的性質、斜率計算公式，考查了轉化能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．