Question

【題目】已知函數 ．
（1）當m=1時，求證：對x∈[0，+∞）時，f（x）≥0；
（2）當m≤1時，討論函數f（x）零點的個數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：當m=1時， ，則f'（x）=ex﹣x﹣1，

令g（x）=ex﹣x﹣1，則g'（x）=ex﹣1，當x≥0時，ex﹣1≥0，即g'（x）≥0，

所以函數f'（x）=ex﹣x﹣1在[0，+∞）上為增函數，

即當x≥0時，f'（x）≥f'（0），所以當x≥0時，f'（x）≥0恒成立，

所以函數 ，在[0，+∞）上為增函數，又因為f（0）=0，

所以當m=1時，對x∈[0，+∞），f（x）≥0恒成立

（2）解：由（1）知，當x≤0時，ex﹣1≤0，所以g'（x）≤0，所以函數f'（x）=ex﹣x﹣1的減區間為（﹣∞，0]，增區間為[0，+∞）．所以f'（x）min=f'（0）=0，所以對x∈R，f'（x）≥0，即ex≥x+1．

①當x≥﹣1時，x+1≥0，又m≤1，∴m（x+1）≤x+1，∴ex﹣m（x+1）≥ex﹣（x+1）≥0，即f'（x）≥0，所以當x≥﹣1時，函數f（x）為增函數，又f（0）=0，所以當x＞0時，f（x）＞0，當﹣1≤x＜0時，f（x）＜0，所以函數f（x）在區間[﹣1，+∞）上有且僅有一個零點，且為0．

②當x＜﹣1時，（ⅰ）當0≤m≤1時，﹣m（x+1）≥0，ex＞0，所以f'（x）=ex﹣m（x+1）＞0，

所以函數f（x）在（﹣∞，﹣1）上遞增，所以f（x）＜f（﹣1），且 ，

故0≤m≤1時，函數y=f（x）在區間（﹣∞，﹣1）上無零點．

（ⅱ）當m＜0時，f'（x）=ex﹣mx﹣m，令h（x）=ex﹣mx﹣m，則h'（x）=ex﹣m＞0，

所以函數f'（x）=ex﹣mx﹣m在（﹣∞，﹣1）上單調遞增，f'（﹣1）=e﹣1＞0，

當 時， ，又曲線f'（x）在區間 上不間斷，

所以x0∈ ，使f'（x0）=0，

故當x∈（x0，﹣1）時，0=f'（x0）＜f'（x）＜f'（﹣1）=e﹣1，

當x∈（﹣∞，x0）時，f'（x）＜f'（x0）=0，

所以函數 的減區間為（﹣∞，x0），增區間為（x0，﹣1），

又 ，所以對x∈[x0，﹣1），f（x）＜0，

又當 時， ，∴f（x）＞0，

又f（x0）＜0，曲線 在區間 上不間斷．

所以x1∈（﹣∞，x0），且唯一實數x1，使得f（x1）=0，

綜上，當0≤m≤1時，函數y=f（x）有且僅有一個零點；當m＜0時，函數y=f（x）有個兩零點

【解析】（1）當m=1時， ，則f'（x）=ex﹣x﹣1，令g（x）=ex﹣x﹣1，利用導數研究其單調性極值與最值，可得函數f'（x）=ex﹣x﹣1在[0，+∞）上為增函數，即當x≥0時，f'（x）≥f'（0）=0，可得函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，即可證明．（2）由（1）知，當x≤0時，ex﹣1≤0，所以g'（x）≤0，可得ex≥x+1．①當x≥﹣1時，x+1≥0，又m≤1，m（x+1）≤x+1，可得ex﹣m（x+1）≥0，即f'（x）≥0，可得：函數f（x）在區間[﹣1，+∞）上有且僅有一個零點，且為0．②當x＜﹣1時，（ⅰ）當0≤m≤1時，﹣m（x+1）≥0，ex＞0，可得f'（x）=ex﹣m（x+1）＞0，函數f（x）在（﹣∞，﹣1）上遞增，函數y=f（x）在區間（﹣∞，﹣1）上無零點． （ⅱ）當m＜0時，f'（x）=ex﹣mx﹣m，令h（x）=ex﹣mx﹣m，則h'（x）＞0，函數f'（x）=ex﹣mx﹣m在（﹣∞，﹣1）上單調遞增，f'（﹣1）=e﹣1＞0，可得函數存在兩個零點．