Question

【題目】已知函數f（x）=4cosxsin（x+ ）﹣1， （Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間
（Ⅱ）若sin2x+af（x+ ）+1＞6cos4x對任意x∈（﹣ ， ）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由函數f（x）=4cosxsin（x+ ）﹣1，

可得：f（x）=4cosx（ sinx+ cosx）﹣1

= sin2x+2cos2x﹣1

= sin2x+cos2x

=2sin（2x+ ）

由 （k∈Z），

解得：

所以：f（x）的單調增區間為

（Ⅱ）由題意：當 時，

原不等式等價于a2cos2x＞6cos4x﹣sin2x﹣1，

即 恒成立

令 =

∵ ，當x=0時，cosx取得最大值，即cosx=1時，那么g（x）也取得最大值為 ．

因此， ．

【解析】（Ⅰ）先利用兩角和余差的基本公式和輔助角公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；

（Ⅱ）求出f（x+ ）的值，帶到題設中去，化簡，求函數在x∈（﹣ ， ）的最值，即可恒成立，從而求實數a的取值范圍．

【考點精析】利用正弦函數的單調性和三角函數的最值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數；函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．