Question

【題目】定義域是一切實數的函數y=f（x），其圖象是連續不斷的，且存在常數λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數x都成立，則稱f（x）實數一個“λ一半隨函數”，有下列關于“λ一半隨函數”的結論：①若f（x）為“1一半隨函數”，則f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=ax為一個“λ一半隨函數；③“ 一半隨函數”至少有一個零點；④f（x）=x2是一個“λ一班隨函數”；其中正確的結論的個數是（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①、若f（x）為“1一半隨函數”，則f（x+1）+f（x）=0，可得f（x+1）=﹣f（x），

可得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），因此x=0，可得f（0）=f（2）；故①正確；

②、假設f（x）=ax是一個“λ一半隨函數”，則ax+λ+λax=0對任意實數x成立，

則有aλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=ax是“λ一半隨函數”，故②正確．

③、令x=0，得f（ ）+ f（0）=0．所以f（ ）=﹣ f（0），

若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數根；若f（0）≠0，f（ ）f（0）=﹣ （f（0））2＜0，

又因為f（x）的函數圖象是連續不斷，所以f（x）在（0， ）上必有實數根，

因此任意的“﹣ 一半隨函數”必有根，即任意“﹣ 一半隨函數”至少有一個零點．故③正確．

④、假設f（x）=x2是一個“λ一半隨函數”，則（x+λ）2+λx2=0，

即（1+λ）x2+2λx+λ2=0對任意實數x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式無解，所以f（x）=x2不是一個“λ﹣同伴函數”．故④錯誤

正確判斷：①②③．

故選：C．