Question

已知a，b，c，d是實數，用分析法證明：

a2+b2

+

c2+d2

≥

(a+c)2+(b+d)2

．

Answer 1

分析：要證原不等式成立，將其兩邊平方，再進行分類討論即可證得．

解答：證明：要證原不等式成立，只要證(

a2+b2

+

c2+d2

)2≥(a+c)2+(b+d)2，
即證(

(a2+b2)(c2+d2)

≥ac+bd．
（1）若ac+bd≤0，上式已經成立，原不等式成立
（2）若ac+bd＞0，只要證（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²
即證a²d²+b²c²≥2abcd，而此式成立，原不等式成立．
綜上（1）（2），原不等式成立．

點評：本題的考點是綜合法與分析法，主要考查分析法證明不等式，關鍵是注意證題的等價轉化，應注意證題的格式．