Question

（本小題滿分14分）
在數列中，，其中．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）求數列的前項和；
（Ⅲ）證明存在，使得對任意均成立．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）當時，①式減去②式，數列的前項和
當時，．這時數列的前項和
（Ⅲ）存在，使得對任意均成立。

（Ⅰ）解法一：，
，
．
由此可猜想出數列的通項公式為．
以下用數學歸納法證明．
（1）當時，，等式成立．
（2）假設當時等式成立，即，
那么
．
這就是說，當時等式也成立．根據（1）和（2）可知，等式對任何都成立．
解法二：由，，
可得，
所以為等差數列，其公差為1，首項為0，故，所以數列的通項公式為．
（Ⅱ）解：設，　　　①
　　　　　　　　②
當時，①式減去②式，
得，
．
這時數列的前項和．
當時，．這時數列的前項和．
（Ⅲ）證明：通過分析，推測數列的第一項最大，下面證明：
．　　　　③
由知，要使③式成立，只要，
因為

．
所以③式成立．
因此，存在，使得對任意均成立．