Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線：，過拋物線焦點且與軸垂直的直線與拋物線相交于、兩點，且的周長為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線過焦點且與拋物線相交于、兩點，過點、分別作拋物線的切線、，切線與相交于點，求：的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）0.

【解析】

（1）先求得A，B兩點坐標，利用計算的周長可得p，進而求得拋物線方程；

（2）利用導數的幾何意義求得切線與的方程，聯立直線與拋物線方程，利用韋達定理及與的交點P，可得，再利用焦半徑公式求得，可得結果.

（1）由題意知焦點的坐標為，將代入拋物線的方程可求得點、的坐標分別為、，

有，，可得的周長為，有，得.

故拋物線的方程為.

（2）由（1）知拋物線的方程可化為，求導可得.

設點、的坐標分別為、.

設直線的方程為（直線的斜率顯然存在）.

聯立方程消去整理為：，可得.

有，.

可得直線的方程為，整理為.

同理直線的方程為.

聯立方程，解得，則點的坐標為.

由拋物線的幾何性質知，，

.

有 .

∴.