Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多作，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將選題號填入括號中．
（1）選修4一2：矩陣與變換
設矩陣M所對應的變換是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸縮變換．
（Ⅰ）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩陣M^-1以及橢圓在M^-1的作用下的新曲線的方程．
（2）選修4一4：坐標系與參數方程
已知直線（t為參數），（θ為參數）．
（Ⅰ）當時，求C₁與C₂的交點坐標；
（Ⅱ）過坐標原點O做C₁的垂線，垂足為A，P為OA中點，當α變化時，求P點的軌跡的參數方程．
（3）選修4一5：不等式選講
已知a，b，c均為正實數，且a+b+c=1．求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）先求出矩陣M，然后利用特征多項式建立方程求出它的特征值，最后分別求出特征值所對應的特征向量；
（Ⅱ）先求出矩陣M的逆矩陣，然后利用點在矩陣M^-1的作用下的點的坐標，化簡代入橢圓方程求出新的曲線方程．
（2）（Ⅰ）先寫出C₁的普通方程和C₂的普通方程為x²+y²=1．聯立方程組即可解得C₁與C₂的交點；
（Ⅱ）C₁的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0．A點坐標為（sin²α，-cosαsinα），從而得出當α變化時，P點軌跡的參數方程即可．
（3）根據柯西不等式•（4a+1+4b+1+4c+1）直接求解即可．
解答：解：（Ⅰ）由條件得矩陣M=，
它的特征值為2和3，對應的特征向量為及；（4分）
（Ⅱ），橢圓在M^-1的作用下的新曲線的方程為x²+y²=1．（7分）
（2）（Ⅰ）當時，C₁的普通方程為，
C₂的普通方程為x²+y²=1．聯立方程組，
解得C₁與C₂的交點為（1，0），．（4分）
（Ⅱ）C₁的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0．A點坐標為（sin²α，-cosαsinα），
故當α變化時，P點軌跡的參數方程為：（α為參數）（7分）
（3）由柯西不等式得
•（4a+1+4b+1+4c+1）
=3[4（a+b+c）+3]=2（15分）
當且僅當a=b=c=時等號成立
故的最大值為．（7分）
點評：本題主要考查來了逆變換與逆矩陣，以及圓的參數方程和直線的參數方程，以及不等式的證明等基礎知識，是一道綜合題，屬于中檔題．