Question

【題目】在區間D上，如果函數f（x）為減函數，而xf（x）為增函數，則稱f（x）為D上的弱減函數．若f（x）=
（1）判斷f（x）在區間[0，+∞）上是否為弱減函數；
（2）當x∈[1，3]時，不等式 恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若函數g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有兩個不同的零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由初等函數性質知， 在[0，+∞）上單調遞減，

而 在[0，+∞）上單調遞增，

所以 是[0，+∞）上的弱減函數．

（2）解：不等式化為 在x∈[1，3]上恒成立，則 ，

而 在[1，3]單調遞增，∴ 的最小值為 ， 的最大值為 ，

∴ ，∴a∈[﹣1， ]．

（3）解：由題意知方程 在[0，3]上有兩個不同根，

①當x=0時，上式恒成立；

②當x∈（0，3]時，則由題意可得方程 只有一解，

根據 ，

令 ，則t∈（1，2]，

方程化為 在t∈（1，2]上只有一解，所以 ．

【解析】（1）利用初等函數的性質、弱減函數的定義，判斷 是[0，+∞）上的弱減函數．（2）根據題意可得 ，再利用函數的單調性求得函數的最值，可得a的范圍．（3）根據題意，當x∈（0，3]時，方程 只有一解，分離參數k，換元利用二次函數的性質，求得k的范圍．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的性質，需要了解函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集才能得出正確答案．