Question

【題目】已知數列{bn}的前n項和是Sn ， 且bn=1﹣2Sn ， 又數列{an}、{bn}滿足點{an ， 3 }在函數y=（ ）x的圖象上．
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）若cn=anbn+ ，求數列{an}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n≥2時，bn=1﹣2Sn，bn﹣1=1﹣2Sn﹣1，

兩式相減得：bn﹣bn﹣1=﹣2bn，即bn= bn﹣1，

又∵b1=1﹣2S1，即b1= ，

∴數列{bn}是首項、公比均為 的等比數列，

∴bn= = ；

∵點{an，3 }在函數y=（ ）x的圖象上，

∴3 = ，即 = ，

∴數列{an}的通項公式an=2n﹣1

（2）解：由（1）可知cn=anbn+ =（2n﹣1） +3n，

記數列{anbn}的前n項和為Pn，數列{ }的前n項和為Qn，

∵Pn=1 +3 +…+（2n﹣1） ，

Pn=1 +3 +…+（2n﹣3） +（2n﹣1） ，

∴ Pn= +2（ + +…+ ）﹣（2n﹣1）

= +2 ﹣（2n﹣1）

= ﹣ ，

∴Pn=1﹣（n+1） ，

又∵Qn= = ，

∴Tn=Pn+Qn

=1﹣（n+1） +

= ﹣ ﹣

【解析】（1）當n≥2時，利用bn=1﹣2Sn與bn﹣1=1﹣2Sn﹣1作差，整理得bn= bn﹣1 ， 進而可知數列{bn}是首項、公比均為 的等比數列；通過將點{an ， 3 }代入函數解析式y=（ ）x中，進而計算可得結論；（2）通過（1）可知cn=（2n﹣1） +3n ， 通過記數列{anbn}的前n項和為Pn ， 數列{ }的前n項和為Qn ， 利用錯位相減法計算可知Pn=1﹣（n+1） ，利用等比數列的求和公式計算可知Qn= ，相加即得結論．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．