Question

【題目】在四棱柱中， 底面，底面為菱形， 為與交點，已知,.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求證： ∥平面；

（Ⅲ）設點在內（含邊界）,且 ，說明滿足條件的點的軌跡，并求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）點的軌跡是線段， .

【解析】試題分析：（Ⅰ）求證：平面，證明線面垂直，即證線線垂直，即在平面找兩條相交直線與垂直，由于底面為菱形，則，又底面，得底面，即，從而得證；（Ⅱ）求證：∥平面，證明線面平行，首先證明線線平行，可用三角形的中位線平行，也可用平行四邊形的對邊平行，注意到是的中點，連接,交于點，連接，證得四邊形是平行四邊形，從而得∥，從而可證∥平面；（Ⅲ）連接，則，又在中，,又為中點，所以，得平面，由已知可知，∥，由，得，故點一定在線段上，這樣就得到點的軌跡，進而可得的最小值.

試題解析：解：（Ⅰ）依題意, 因為四棱柱中， 底面，所以底面.

又底面,

所以 .

因為為菱形，

所以.

而，

所以平面.

（Ⅱ）連接,交于點，連接.

依題意， ∥,

且， ,

所以為矩形.

所以∥.

又, , ,

所以= ，所以為平行四邊形，

則∥.

又平面， 平面,

所以∥平面.

（Ⅲ）在內，滿足 的點的軌跡是線段，包括端點.

分析如下：連接，則.

由于∥,故欲使 ，只需,從而需.

又在中， ,又為中點，所以 .

故點一定在線段上.

當時， 取最小值.

在直角三角形中， , ,,

所以.