Question

關于x的方程x³-3x²-a=0有三個不同的實數解，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,函數的零點與方程根的關系

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：構造f（x）=x³-3x²-a，則f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），可知f（0）=-a為極大值，f（2）=-4-a為極小值，從而當極大值大于0，極小值小于0時，有三個不等實根，由此可得a的取值范圍．

解答： 解：假設f（x）=x³-3x²-a，
由題意知使函數f（x）=x³-3x²-a的極大值大于0且極小值小于0即可，
則f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
∴函數在（-∞，0），（2，+∞）上單調增，在（0，2）上單調減
∴f（0）=-a為極大值，f（2）=-4-a為極小值
當f（0）＞0，f（2）＜0時，即-a＞0，-4-a＜0，即-4＜a＜0時，有三個不等實根
故選A．
故答案為：（-4，0）

點評：本題以方程為載體，考查方程根的問題，考查函數與方程的聯系，解題的關鍵是構造函數，利用導數求函數的極值．