Question

命題：
①設

a

、

b

、

c

是互不共線的非零向量，則（

a

•

b

）

c

-（

c

•

a

）

b

=

0

；
②“a=1”是“函數f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）單調遞增”的充分不必要條件；
③已知α，β∈R，則“α=β”是“tanα=tanβ”的充要條件；
④函數f（x）=2^x-x²的在（1，3）上至少一個零點；
⑤

x-1

(x-2)≥0的解集為[2，+∞）；
⑥函數y=x³在x=0處切線不存在．
其中正確命題的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①利用向量共線的充要條件即可判斷出；
②利用復合函數的單調性的判斷方法即可得出；
③由正切函數的性質即可判斷出；
④由函數零點的判定定理即可得出；
⑤不要漏了x=1時的情況；
⑥利用導數可得出切線的斜率，從而切線存在．

解答：解：①假設（

a

•

b

）

c

-（

c

•

a

）

b

=

0

正確，則(

a

•

b

)

c

=(

c

•

a

)

b

，若

a

•

b

與

c

•

a

不全為0，則向量

c

與

b

共線，與已知

a

、

b

、

c

是互不共線的非零向量矛盾，因此不正確；
②當a=1時，函數f（x）=lg（x+1）在（0，+∞）單調遞增；若函數f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）單調遞增，則a＞0．故“a=1”是“函數f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）單調遞增”的充分不必要條件，因此正確；
③由“α=β=kπ+

π

2

”推不出“tanα=tanβ”；反之也不成立，如tan

π

4

=tan(

π

4

+π)，但是

π

4

≠

5π

4

．因此則“α=β”是“tanα=tanβ”的既不充分也不必要條件；
④∵f（1）f（3）=（2-1）×（8-9）＜0，∴函數f（x）=2^x-x²的在（1，3）上至少一個零點，故正確；
⑤當x=1時，滿足

x-1

(x-2)≥0；當x＞1時，原不等式可化為x-2≥0，解得x≥2．綜上可知：原不等式的解集為{1}∪[2，+∞），故⑤不正確；
⑥∵y^′=3x²，∴f^′（0）=0，故函數y=x³在x=0處切線為x軸．因此⑥不正確．
綜上可知：只有②④正確，即正確命題的個數為2．
故選B．

點評：熟練掌握向量共線的充要條件、復合函數的單調性的判定方法、函數零點的判定定理、正切函數的性質、不等式的解法及導數的幾何意義是解題的關鍵．