Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，向量

AB

，

AC

，

AA1

兩兩垂直，|

AC

|=1，|

AB

|=2，E，F分別為棱BB₁，BC的中點，且

CB1

•

A1E

=0．
（Ⅰ）求向量

AA1

的模；
（Ⅱ）求直線AA₁與平面A₁EF所成角的正弦值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,直線與平面所成的角

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）分別以AC，AB，AA₁為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設A₁（0，0，z），得到

CB1

•

A1E

=4-

z2

2

=0，解出即可．
（Ⅱ）分別求出

AA1

，

A1F

，

A1E

的坐標，設平面A₁EF的法向量

n

=（x，y，z），得到方程組，求出一個

n

，從而求出直線AA₁與平面A₁EF所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）分別以AC，AB，AA₁為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
如圖示：
，
∴C（1，0，0），B（0，2，0），F（1，1，0），
設A₁（0，0，z），則E（0，2，

z

2

），B₁（0，2，z），
∴

CB1

=（-1，2，z），

A1E

=（0，2，-

z

2

），
∴

CB1

•

A1E

=4-

z2

2

=0，解得：z=2

2

，
∴|

AA1

|=2

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

AA1

=（0，0，2

2

），

A1F

=（1，1，-2

2

），

A1E

=（0，2，-

2

），
設平面A₁EF的法向量

n

=（x，y，z），
∴

x+y-2 2 z=0 2y- 2 z=0

，令z=2，
∴

n

=（3

2

，

2

，2），
設直線AA₁與平面A₁EF所成的角為θ，
∴sinθ=

AA1 • n

| AA1 |•| n |

=

4 2

2 2 •2 6

=

6

6

．

點評：本題考查了平面向量的數量積的運算及應用，考查了線面角問題，是一道中檔題．